数理情報一般 数学の現在・過去・未来

2002年6月17日

オイラー数は国民の常識

Leonhard Euler

Born: 15 April 1707 in Basel, Switzerland

Died: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia
 
 

オイラーはスイスの10フラン紙幣に描かれている
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/PictDisplay/Euler.html
 
 
 

デカルト 1596-1650
フェルマー 1601--1665
パスカル 1623--1662
ニュートン 1642--1727
ライプニッツ 1646--1716

オイラー 1707--1783

ラグランジュ 1736--1813
ガウス 1777--1855
ポアンカレ 1854--1912

年表で見ると
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Timelines/index.html
 
 

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Timelines/TimelineC.html

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Timelines/TimelineD.html

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Timelines/TimelineE.html

これらのデータは次のページによく整理され収録されている。
 

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/
 
 

オイラーの仕事:解析力学、数論、位相幾何学
 

以下は三重大学の蟹江先生のページにある解説です。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/humanind/jinmei.htm

オイラー、レオンハルト(Leonhard Euler, 1707.4.15-1783.9.18).
 スイス、バーゼルに生まれ、ロシア、サンクト・ペテルスブルグに死す。
 ヨハン・ベルヌーイの弟子。ペテルスブルグ(27-41)、ベルリン(41-66)、ペテルブルグ(66-83)のアカデミーに。66年に全盲となるも、死ぬまで活発な研究を続ける。朴訥な人柄で、子供は13人。赤ん坊を抱え、子供を足元で遊ばせながら数学をしたと言われている。天王星の軌道計算の途中,孫を呼びにやり,お茶をすすりながら話をしているとき、突然「死ぬよ」と周りに告げ,穏やかに「生きることと,計算することを止めた」という。
 数学史上最大の多作家。解析学,代数学,整数論,確率論,複素関数論,変分法.ケーニヒスベルクの橋を一筆書きする問題や多面体の面・辺・頂点の数の関係式(オイラー標数)で、グラフ理論とトポロジーの祖となる。オイラー類,オイラー定数,オイラー方程式. 天文学(日蝕の計算,月の新理論),航海学(船のローリングやピッチングの理論),流体動力学(気球の飛行計算),屈折光学(レンズの理論).
 フランスの物理学者アラゴー(1786.2.26-1853.10.2)は、オイラーを「解析学の化身」と称え、 「人が息をするように、鷲が空を舞うように、オイラーは計算をした」と言っている。

以上は三重大学の蟹江先生のページにある解説でした。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/humanind/jinmei.htm
 
 
 
 
 

オイラーの仕事:解析力学、数論、位相幾何学

位相幾何学:もののつながり方の研究
ものの形の研究
 
 
 

ケーニヒスベルグの橋
一筆書きの問題

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Topology_in_mathematics.html
 
 

オイラーの多面体定理

凸多面体の
頂点の個数をv ,
辺の個数をe,
面の個数を f とすると
v - e + f = 2
 

確かめてみよう。
 
 

凸多面体とは何か?
 

凸:出っ張り、出っ張っていること、凹の逆???
 

凸な図形の数学的定義:
図形の2点を結ぶ線分が
必ず図形に含まれる図形
 
 

多面体:多くの面から成り立っている図形???
 

凸多面体1

凸多面体2
 
 

我々の見た凸多面体の面とは平面の多角形。
実際には凸多角形が面となっている。

また、凸多角形は
平面の片側の共通部分となっている。
 
 

従って
凸多角形は、いくつかの
空間ベクトル a1, ..., ak
実数 b1, ..., bk により、
連立不等式
a1xb1 ,
. . . ,

ak xbk

により定義される図形である。
・は内積を表す。
 

さて、
平面の多角形の
辺の個数と頂点の個数は等しい。
 
 
 
 

平面の多角形の分割について

多角形とは、辺がひとつながりに
なっている平面上の図形と定義する。

このとき、辺の個数と頂点の個数は等しい。

平面の多角形が、線分のあつまりによって
多角形に分割されているとき、
v - e + f = 1
を辺の数についての数学的帰納法で示す。

分割される前の多角形について、
面の数は1だから、上の式は成立している。
 
 

次の操作を考える。

「まず、2つの面をつなぐように辺を消去する。
多角形の内側に突き出した辺と頂点を消去する。」

この操作が必ず出来ることを示せば、
この操作で、v - e + f  の値は変わらないことと、 
辺の数が減ることから、
数学的帰納法によって、上の式は成立している。

面の数が2以上ならば、隣合う面があるから
辺の消去が可能である。

この結果、多角形の内側へ突き出した
辺と頂点が出来たときは、辺と頂点を
先から順に消去していく。

こうして、平面の多角形が、線分のあつまりによって
多角形に分割されているとき、v - e + f = 1
が示された。

凸多面体 K は、
2つの平面の多角形 PP2 に、
裏と表が射影できる。
裏と表の共通部分 C
 PP2 の境界に射影されている。

このとき
 K の辺の数=  P の分割の辺の数
          + P2 の分割の辺の数
     ー C の辺の数
K の頂点の数=  P の分割の頂点の数
          + P2 の分割の頂点の数
     ー C の頂点の数
K の面の数=  P の分割の面の数
          + P2 の分割の面の数
 

v (K)- e(K) + f (K) = v (P) + v (P2) - v (C )
                              - (e (P) + e (P2) - e (C ))
                              + (P) + (P2)
                            = 1+1 + e (C ) - v (C)
                            = 1+1 = 2
 
 

 
余談

平面のタイル張りのうち、平面の格子の
ディリクレ領域といわれているものは、
円に内接する対辺が平行な6角形である。

我々が、よく出会う凸多面体には、
空間の格子のディリクレ領域となるものがある。
空間の格子のディリクレ領域