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楕円リー群及び楕円リー環と呼ばれるものを解説したい。（定義、基本性質、Bruhat
分解定理、Peter-Weyl定理、・・・等々） ここで、楕円リー群及び楕円リー環とは、次の比例式に位置すべき、ある数学の対象物である。 有理関数：三角関数：楕円関数＝単純リー環：アフィン・リー環：楕円リー環＝線形代数群：ループ群：楕円群 このような楕円リー群や楕円リー環は、元来、幾何学への応用（原始形式 （primitive form）とそれに付随する平坦構造(flat structure=Frobenius manifold structure)の構成）を目的として構成されたのである。しかし、現時点（2001年11 月）では、それはまだ将来の課題として留る。 講義では定義及び基本的仕事からはじめ、できる限り、素の時点までの進展を取り上げたい
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2次元イジングモデルは、相転移現象を説明するもっとも単純な数学的モデ
ルとして良く知られている。ピンニング転移という現象は、表面張力が２つの
ことなった値を取る系において観測される現象で、２つの値の違いが有る程度
大きいときには、相の境界のもっとも安定な状態が通常とは大きく異なる形を
取る。この現象をイジングモデルを用いて鮮やかに説明した Pfister-Velenik
の理論を紹介するのがこの講義の目的である。
この現象は、境界の近くの相関関数を計算した McCoy と Wu が奇妙な相関関 数のふるまいを発見したことに始まるが、当時は上で述べたような描像は確立 されておらず、新しいタイプの相転移として発表されているが、しばらくはさ して注目されなかった。 ９０年代以降に活発になった、大偏差原理を用いた Wulff の形の水滴の理論 の発展により、 この種の転移現象を司るのが表面張力と呼ばれる量であるこ とが明らかになって来た。近年の平衡状態の統計力学はこの表面張力と Wulff の変分問題の関係を詳しく調べる形で急速に発展している。Pfister-Velenik の理論はその流れの中に現れた美しい結晶の一つであり、まとまりの良い理論 構成となっている。 講義では、最初にイジングモデルの説明と、基本的な性質について概説した後、 この理論の骨格となる変分問題を解説する。 そののち、この変分問題とイジングモデルの関係について、できるだけ証明も こめた形で解説してゆき、ピンニング転移における揺らぎの大きさの解析まで 説明する予定である。 統計力学と確率論の楽しい協力関係を味わって頂ければ幸いである。
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There are deep works on the Bergman and the Szeg\"o
kernels by Fefferman, Sato-Kashiwara-Komatsu-Hirachi.
In this lecture we construct explicitly the singularity of Seg\"o
kernel following the line developed by H\"o ramnder, S\"ostrand, Boutet-de-
Monvel. Main tool is the Fourier integral operators, which will be explained
in the lecture. Except the elementary of toplogical vector spaces, no
prerequiste is required.
（講義は日本語で行われます.）
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古典的なRiemann面、または軌道体(orbifold)の一意化は、上半平面等の領域の
双曲的多角形による分割や、保型函数、一意化微分方程式(またはSchwarz微分
方程式)等の対象と関連し合う豊かで優雅な数学理論を醸し出して来た。この講義
では、この様な理論がp-進体等の非アルキメデス的付値体上の解析幾何学の枠組
においても(ある程度)可能である事を示す、という事を目標とする。
講義の前半は主に、非アルキメデス的解析幾何や、非アルキメデス的一意化への
入門を主とし、後半でこの枠組みでFuchs群やFuchs型微分方程式の類似をいか
に捉えるかについて解説し、p-進三角群等の具体例や正標数の代数曲線の自己同
型群等といった代数幾何への応用についても言及する予定である。
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群 G の表現を部分群 H に制限すると, H の表現が得られるが,
それは一般には既約でない. 部分群に制限した表現が,
どのように既約分解するかを調べることを 分岐則 の問題という.
ユニタリ表現の分岐則の特別な場合は次のような問題と (ほぼ) 同等になる: 古典的な Clebsh-Gordan 係数の決定, テンソル積の分解, 指標公式, Blattner 予想, 等質空間上の調和解析における Plancherel 型定理, 保型形式における Howe 対応, 量子力学における対称性の破れの記述, ... また，最近では，不連続群の研究にもユニタリ表現の制限の理論が用いられている (Margulis, Oh, Witte など). このように，表現の部分群 H への制限は, 種々の場面で自然に現れる. しかし， H がコンパクトでない場合に, 無限次元表現の分岐則を具体的に求めることは，種々の解析的困難を伴うこともあり， 多くのことが未知である. さて, GL(n,R), SO(p,q), Sp(n,R) などの古典型リー群は 「簡約リー群」と呼ばれている. 任意のリー群は簡約リー群の 拡大を繰り返して得られるので, 簡約リー群は最も基本的なクラスのリー群である. そこで, この講義では, 簡約リー群のユニタリ表現の分岐則について, 特に, 連続スペクトラムが現れない分岐則, すなわち, 離散的分岐則 に焦点を当て, その基礎的な理論について解説する. 講義では,リー群やリー環の定義は仮定するが, 簡約リー群や無限次元表現論の知識はできるだけ仮定せずに話を 進める. １週間で最先端の結果に多少なりとも到達するように, 証明は基本的なアイディアや具体例での概略のみを 話す予定である. 時間があれば, 離散的分岐則の応用についてもふれたい. |
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反応拡散方程式系は、生物学に現れる多様な現象を理論的に理解するために重要な役割
を果たしてきた。 本講義では、主として数理生態学に現れる反応拡散モデルを取り上げ、生物多様性に影響を与える生物種の侵入と伝播および生存領域のパターン形成過程の様 相を、進行波解を通して議論する。まず、単独方程式について、種の空間的な広がりが 進行波解を用いてどのように解析できるかを述べる。 その後、２種系モデルについて、 進行波解の存在とその性質を解析し、その結果に基づいて、定着種がいる領域への他種 の侵入、開放空間への２種の同時侵入等の現象がどのように理解できるかを述べる。 また、数理生態モデルと密接な関係のある化学反応系についても可能な限り言及する。 進行波解の解析における数学的手法としては、相平面解析と特異摂動法を用いる。
１．序 ― 拡散と種間相互作用
参考書 |
| リーマン・ゼータ関数$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty 1/n^s$ の$s=2$での値$\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty 1/n^2$が $\pi^2/6$であることをオイラーが1735年に示してから、 ゼータ関数の値のふしぎについて、いろいろの研究がなされた。 この頃は楕円曲線など代数多様体のゼータ関数の研究も多い。 ゼータのふしぎのひとつの核として、「ゼータの化身」が住む 広いｐ進世界が存在していることを私は信じている。 この信念について述べたい。 |
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Frazier-Jawerth の$\varphi$-変換とその応用について講義する。実解析における重要な手法として、関数のLittlewood-Paley分解があり、この分解を用いて$L^{p}$空間などの様々な空間を特徴付けることができる。$\varphi$-変換とは1990年にFrazier-Jawerth により確立された理論で、Littlewood-Paley 理論をより洗練したものということができる。あるいは本質的にwavelet 理論と同様なものといってもよい。 本講義ではこの$\varphi$-変換を用いた関数空間の特徴付けと、その応用について解説する。特に$A_{p}$-weightを重みとしてもつ関数空間との関連と、そのSchr\"odinger作用素の固有値問題への応用について説明する。 |
| ２００２年はAlan Turingの形態形成の論文が出版されて５０年の節目にあたる。 ９０年始めに実験的にこの「Turing不安定性」が検証されて以来、実に多様な 動的パターンが実験室及び数値的に発見された。個々のユニットは単純なダイナ ミクスであり、それらが局所的に拡散結合されているだけであるにもかかわらず、 自己複製、自己崩壊、さらに時空カオスと実に様々な動的パターンがあたかも 全体のデザイナーがいるかのように現れる。分岐理論、特異摂動論、力学系など の手法と数値的なアプローチをうまく組み合わせることにより、これらの複雑で はあるがあるインテリジェンスを感じさせる動的パターンがどのように理解 できるかを紹介する。 |
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アーベル多様体のModuli空間の${\bf
Z}[\zeta_N,1/N]$上のコンパクト化の問題を考える。 一般にModuli空間をコンパクト化するには安定な対象をすべて集めればよい。 これはMumfordの幾何学的不変式論(GIT)のなかで確立された考え方である。 アーベル多様体のModuliの場合、安定な対象をすべてみつけるための自然な方法は３ 通りある， (1)Stability (Mumford GIT) (2)テータ関数によるEmbeddingの極限， (3)Mumford のone-parameter family 結論から述べると、これらは本質的に同値な概念であり， アーベル多様体のModuli空間\ $A_{g,N}$\ のコンパクト化\ $SQ_{g,N}$\ を与える。 $SQ_{g,N}$\ は ステイブル曲線のModuli空間が非特異な曲線のModuli空間のコンパクト化である のと同様な意味で、\ $A_{g,N}$\ の自然なコンパクト化である。 ただし\ $N\geq 3$.\par $g=1,N=3$という最小の場合は平面３次曲線の話になる。 (i)\ 平面３次曲線\ $C$\ がGIT-stable であるための 必要十分条件は，$C$\ がHesseの３次曲線 $$x_0^3+x_1^3+x_2^3- \mu x_0x_1x_2 = 0\quad (\mu\in {\bf P}^1) $$ のひとつと同型となることである。一方、(ii)\ Hesseの３次曲線は Heisenberg群という位数27の有限群で不変な３次曲線として特徴づけられる。 (iii)\ $\mu=\infty$\ のときHesse３次曲線は３本の直線の輪となり、 $\mu=\infty$\ の付近では，Hesse３次曲線の族は， Mumford のone-parameter familyの特別なものと同一視できる。 一見異なるこれらの主張(i)-(iii) はすべて同値であり、この事実は(1)(2)(3)の同値性として 高次元でも正しい。
講義予定： |
| 「最近の超弦理論の発展、特に双対性、D−ブレーン、M理論、ゲージ・重力理論対応などの基礎を 講義する。先日数理科学で行った数理２００２の内容と重なるが更に少し進んだところまで 議論したい。また、時間があればVafa-Dijkgraafによる新しい結果などにもふれたい。」 |
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計算概念と位相概念は密接な関係がある。例えば，Scott ドメイン上には，
Scott 位相が考えられる。(non-trivial な) Scott ドメインそのものは T1
でもない T0 空間であり，数学的にあまり面白いものとは言えないが，実は，
普通の位相空間 (Separable metric space) は全て Scott ドメインに埋め込
むことができ，Scott ドメインの持つ計算概念を通して，位相空間上の計算
（それは位相に従った近似計算ということになる）を考えることができる。 また，open set as finitely observable property の考えに従えば，開集合 の公理自体が，（しかるべき表現の元で）計算可能な性質を特徴づけているよ うに見えてくる。 この講義では，このような位相空間上の計算一般の話とともに，特に，実数空 間について，実数空間の具体的な表現を考え，それによって導かれる計算構造 について考え，無限精度の足し算などの関数が，プログラム言語でどのように 書けるのかといったことを述べたい。 |
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A.Grothendieck によるモティーフ理論は非特異射影代数多様体のコホモロジー理論を統一的に扱う理論である。
これをふたつの方向に拡張し、混合モティーフおよび相対モティーフの概念を与えることができる。混合モティーフ理論は非特異と限らない準射影代数多様体を扱い、
相対モティーフは底多様体 S のうえの非特異多様体 X → S を扱う。
これらの枠組みとその応用の解説を目的とする。
１．Grothendieckの純モティーフ理論
２．混合モティーフ
（１）高次Chow群、混合モティーフの圏
３．相対モティーフ
（１）Relative correspondences, 相対モティーフの圏 |
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シュレディンガー方程式は, 非相対論的量子力学において粒子の運動を記述する基礎
方程式であり, その基本解の特異性の解析およびパラメトリックスまたは基本解の構
成は基本的な問題の一つである.
これに関して, ユークリッド計量に付随したシュレディンガー方程式に対する研究は
長い歴史を持つが, ポテンシャルの増大度が大きい場合の研究は90年代以降に進展し
たところが少なくない.
シュレディンガー方程式の基本解の構造はポテンシャルの増大度に大きく依存し, ポ
テンシャルの増大度が２次より小さい場合には時刻零を除く全時刻で基本解は滑らか
であり, ２次より大きい場合には一般には全時刻でいたるところ滑らかでなく, 高々
２次の場合には時刻零を除くある有限時間内で滑らかである.
特に摂動された調和振動子を考えると, 摂動の強さに応じて共鳴時刻に特異性が回帰
したり, 伝播したり, 消失したりする. 一方, ユークリッド計量とは限らない漸近的に平坦なリーマン計量に付随したシュレ ディンガー方程式に対する研究は比較的新しく, 90年代半ばのCraig, Kappeler, Straussの仕事を契機として大きく進展したと言える. 曲がった空間上では測地流（つまりラプラス作用素の主表象のハミルトン流）の大域 的挙動が大きな役割を果たすため, 状況は大分異なる. 例えば, ユークリッド空間上 のユークリッド計量を勝手なコンパクト集合上でうまく変形して対応するラプラス作 用素を作ると, それにポテンシャルを加えたシュレディンガー作用素に対する発展方 程式の基本解が, ポテンシャルの増大度にかかわらず, 全時刻で特異性を持つように できる.
この講義では, まずユークリッド計量に付随したシュレディンガー方程式に対する研
究を概観し, 特に解の特異性が詳しくわかる場合として摂動された調和振動子
に対する時間発展を解析する予定である.
次にユークリッド空間上の漸近的に平坦な計量に付随したシュレディンガー方程式を
主な対象として平滑効果と測地流の大域的挙動との関係について解説する予定である
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$H$ を可分無限次元ヒルベルト空間, $B(H)$ を $H$ 上の有界線型
作用素全体のなす代数とする.
単位元を保つ $B(H)$ の１径数連続自己準同型半群を $E_0$-半群という.
1980 年代後半に Powers は, ``$E_0$-半群をコサイクル共役で分類せよ"
という問題を提起した.
$B(H)$ が無限次元の von Neumann 環の中で最も簡単な構造を持つもの であることから, 当初この問題はあまり専門家に注目されなかった. しかしその後の Arveson と Powers の研究の結果, $E_0$-半群は 当初予想されていたよりもはるかに複雑で，豊かな研究対象であること が明らかになった. 特に Arveson は $E_0$-半群の分類が, ヒルベルト空間の ``連続テンソル積分解" (product system) の分類と対応していることを示し, 最近の Vershik や Tsirelson の確率論的アイデアによる $E_0$-半群の研究に門戸を開いた. 本講義では, このような $E_0$-半群の研究の最近の発展の中から話題を 選んで講ずる予定である. 受講者の予備知識としては関数解析の基礎のみを仮定し, 作用素環の 予備知識は仮定しない.
参考文献 |
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講義概要： 非定常あるいは長期記憶的な時系列を分析するための統計理論について講義する。 具体的な内容は、以下の通りである。
1.非定常過程あるいは単位根時系列に対する統計的漸近理論
基礎的文献：
その他：関連資料を私のHP からダウンロードできます． |